FUNCIONES LINEALES

Definición:

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal. [1]

Ejemplo:

El fabricante de cierto producto, determina que el costo de adquirirlo es $40, además el tiene que afrontar un gasto mensual independiente de su producción, que asciende a los $600. Encuentre la función utilidad que modele el problema, si se sabe que el fabricante vende su producto a $80 la unidad. grafique dicha función.

SOLUCIÓN

En este problema, lo primero que debemos identificar la variable involucrada, que en éste caso será:

"x": Representa el número de unidades producidas.

Ahora modelemos la función COSTO:

La función INGRESO:

Finalmente, modelamos la función UTILIDAD:

La gráfica de ésta función, la realizamos usando una tabulación especial:

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Definición:

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

a ≠ 0

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

Ejemplo:

Cierta compañía dedicada a la comercialización de computadoras portátiles, determinó que para su modelo AZ-1050, la ecuación de demanda viene dada por;

Determine, la función ingreso total para éste producto y grafique dicha función.

SOLUCIÓN

En este problema, podemos observar que las variables involucradas son:

"q": Representa el número de unidades producidas.
"p": Representa el precio de venta unitario

Ahora modelemos la función INGRESO:

La gráfica la realizaremos, encontrado las coordenadas del vértice y lego tabulamos con sus intersectos:

Luego las coordenadas del vértice serán:

Ahora la tabulación con sus intersectos:

ALGUNOS VIDEOS INTERESANTES

GRUPO DE TRABAJO

• Ivonns Ocampo Ramirez

• Evelyn Siccha Rodriguez

• Claudia Vera Benites

• Juan Almanza Cabanillas

• Gustavo Leon Carasas

• Arturo Leyton Sevillano

REFERENCIAS

1. WIKIPEDIA - ENCICLOPEDIA LIBRE
2. VIDEOS DE YOUTUBE DE LOS SIGUIENTES AUTORES:

• Las Ecuaciones Lineales En La Vida Diaria - Sebastian Morales
• MGTR. EVA INÉS ASTOCÓNDOR FUERTES - FUNCIÓN LINEAL: COSTO, INGRESO Y GANANCIA
• Aplicaciones de la Funcion Cuadratica - Ivan Dario Camargo Godoy
• EJERCICIO DE UTILIDAD, INGRESO TOTAL Y COSTO TOTAL - Matemática para Administración y Economía - Jorge Cogollo

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

En general los logaritmos son importantes en nuestra vida ya que los emplearemos consciente mente o inconscientemente en el área que nos desarrollemos ya que serán gran ayuda para resolver esas grandes situaciones que se nos presentaran en adelante. 

Uno de los casos importantes de la aplicación de logaritmos aparte de la astronomía y las demás ciencias, creo que hay que resaltar el uso de logaritmos en la música. Les dejo el siguiente vídeo donde podrán apreciar una mejor explicación más profunda de lo que es el uso de logaritmos en esta materia. En el vídeo podemos observar la aplicación de los logaritmos con ayuda de las notas musicales y formulas que con ayuda de los logaritmos lo que nos parecerá complicado al principio lo terminamos simplificando.

“Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facilidad.” Herry Briggs (1556-1631), astrónomo.

CASOS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

1.    En la Economía y la Banca: Los índices de crecimiento son exponenciales, se aplica en la demanda y oferta, asi como obtener los porcentajes de los parámetros. Mientras en la banca sirve para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo.

2.       En la Estadística: Suele aplicarse en el crecimiento de la población.

3.       En la Publicidad: Cuando se realizan las estadísticas sobre la campaña publicitaria que se va a lanzar, se realizan cálculos matemáticos con logaritmos. Estas estadísticas definen el fracaso o éxito de la campaña.

4.  En la Medicina: Solo es aplicable en ciertos fenómenos tales como el resultado del experimento psicológico de Stenberg. También se aplica en la inmunología.

5.  En la Psicología: Se utiliza en la ley de Weber-Fechner, fenómeno del estimulo y  respuesta. Aquí la respuesta (R) se relaciona con el estimulo (E) mediante una ecuación      donde por ejemplo E0 es el valor mínimo del estimulo que se encuentra en el sujeto. 

1.        En la Biología: Es aplicado en los estudios de los efectos nutricionales de los organismos. Así  como también en el cálculo del PH. También en la genética, donde se utiliza la estadística y la  probabilidad para saber sobre lo que un hijo heredara de sus padres.

2.       En la Geología: Sirven de cálculo para calcular la intensidad de un evento, así como un sismo o un terremoto. Aquí es usado en la escala de Richter, donde la intensidad de un sismo se conoce en base a los logaritmos.

3.   En la Astronomía: Para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cálculos de carácter logarítmico para determinar la brillantez y magnitud.  Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2.5.

4       En la Química: Para calcular el PH de las sustancias se utilizan logaritmos. El PH normalmente es medido constantemente debido al efecto de las lluvias ácidas producidas por el azufre de las plantas eléctricas y fabricas.

En la Música: El pentagrama es una escala logarítmica ya que la altura del sonido es proporcional a la del número de frecuencia, además ayuda a medir los grados de tonalidad ya que se pueden representar por el logaritmo en base 2.

En general los logaritmos son importantes en nuestra vida ya que los emplearemos consciente mente o inconscientemente en el área que nos desarrollemos ya que serán gran ayuda para resolver esas grandes ecuaciones que se nos presentaran en adelante. 

 FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, en especial ellas describen el crecimiento de muchas cantidades de la vida real.

 Definición.-La función con dominio todos los reales y definida por x f (x) = a, con a>0, a ≠ 1 es llamada función exponencial con base a.

CASOS:

1.-  UN EJEMPLO REAL

Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacio de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día?

Minutos	15	30	45	60	....
NºBacterias	2	4	8	16	2x

Siendo x los intervalos de 15 minutos:..2⁴ = 16 en una hora, 2⁸ = 256 en dos horas,... 2^24·4 = 2⁹⁶ = 7,9·10²⁸. ¡En un día!.  Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa.

2.- En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300 moscas.

a.    ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?

b.    ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?

c.    ¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?

Solución:

a.                           ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población               de  moscas?

Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:

                                              f x = y 0 × a x b

Donde x representa el número de días transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:

X	2	4
f(x)	100	300

Los valores de la tabla indican que la población de moscas se triplicó en un periodo de 2 días, lo que nos permite escribir la fórmula así:

                                                           f x = y0 × 3 x2

Sabemos que f (2)=100. Reemplazando en la fórmula para hallar y₀:

                                                 f 2 = y0 × 3 22 100 = y0 × 3 1 y0 = 1003

Finalmente la fórmula para el crecimiento de las moscas es:

                                                    f x = 1003 × 3 x2

                    ¿Cuántas moscas hay después de 5 días?

Usando la fórmula para x = 5, la población será:

                                                      f 5 = 1003 × 3 52 f 5 ≈ 520

Después de 5 días habrá aproximadamente 520 moscas.

¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 1003 × 3 x2 1000 = 1003 × 3 x2 30 = 3 x2 ln (30 ) = ln ( 3 x2 ) ln (30 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (30 )ln (3 ) = x x ≈ 6.19

La población de moscas será de 1000 individuos después de aproximadamente 6.19 días.

3. -  Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

a          ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

b               ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

      ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

      Solución:

a. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

 Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección        de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la                  población es:

                                                              f x = 50 × 3 x2

b.    ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

Usando la fórmula para x = 4, la población será:

f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450

Después de 4 años habrá 450 aves.

c.    ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f (x) = 1000:

f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20) = ln (3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4

La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

4.  Se tiene un cultivo de bacterias en un laboratorio y se sabe que su crecimiento es exponencial. El conteo del cultivo de bacterias fue de 800 después de 1 minutos y 1280 después de 2 minutos.

a.    ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento del cultivo de bacterias?

b.    ¿Cuántas bacterias hay después de 5 minutos?

c.    ¿Después de cuánto tiempo el número de bacterias será de 10000?

            Solución:

a.  ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?

Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:

f x = y 0 × a x b

Donde x representa el número de minutos transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:

X	1	2
f(x)	800	1280

El periodo de tiempo entre las dos observaciones es de 1 minuto. Queremos encontrar el factor de crecimiento en el periodo de tiempo. Es decir, queremos encontrar a con los datos de la tabla:

a× 800 = 1280 a = 1.6

Lo que nos indica que hubo un factor de crecimiento del 1.6 después de 1 minuto. Reemplazando estos valores en la fórmula tenemos:

f x = y 0 × 1.6 x

Sabemos que f(1)=800. Reemplazando en la fórmula para hallar y₀:

f 1 = y 0 × 1.6 1 800 = y 0 × 1.6 y 0 = 800 1.6 y 0 = 500

Finalmente la fórmula para el crecimiento de las bacterias es:

f x = 500 × 1.6 x

b.    ¿Cuántas bacterias hay después de 5 minutos?

Usando la fórmula para x = 5, la población de bacterias será:

f 5 = 500 × 1.6 5 f 5 ≈ 5242.88

Después de 5 días habrá aproximadamente 5242.88 bacterias.

c.    ¿Después de cuánto tiempo el número de bacterias será de 10000?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 10000:

f x = 500 × 1.6 x 10000 = 500 × 1.6 x 20 = 1.6 x ln ( 20 ) = ln ( 1.6 x ) ln ( 20 ) = x ln ( 1.6 ) ln ( 20 ) ln ( 1.6 ) = x x ≈6.37

La población de bacterias será de 10000 después de aproximadamente 6.37 minutos.

REFERENCIAS

1. WIKIPEDIA - ENCICLOPEDIA LIBRE
2. VIDEOS DE YOUTUBE DE LOS SIGUIENTES AUTORES:
3. https://www.youtube.com/watch?v=CCPLHhOR_7k4
4. http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/primeras/tema13.pdf
5. http://logaritmoshist.blogspot.com/2013/10/los-logaritmos-en-la-vida-cotidiana.html
6. http://www.vitutor.com/al/log/e_e.html
7. http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php
8. Aplicaciones de la Funcion Cuadratica - Ivan Dario Camargo Godoy